题目内容
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过6
| ||
| 5 |
| 5 |
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
分析：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时，(x-4)2+y2=
．当x＜2时，
+
=1．由此能得到考查区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为y=
x+14，y=6．
设直线l平行于直线l1，其方程为y=
x+m，代入椭圆方程
+
=1，消去y，得16x2+10
mx+5(m2-4) =0，然后由根的判别式和点到直线的距离公式结合题设条件进行求解．
| 36 |
| 5 |
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为y=
| 3 |
设直线l平行于直线l1，其方程为y=
| 3 |
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 4 |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），
当x≥2时，由题意知(x-4)2+y2=
．
当x＜2时，由|PA|+|PB|=4
知，点P在以A，B为焦点，长轴长为2a=4
的椭圆上．此时短半轴长b=
=2．因而其方程为
+
=1．
故考察区域边界曲线（如图）的方程为C1：(x-4)2+y2=
(x≥2)和C2：
+
=1(x＜2)．
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为y=
x+14，y=6．
设直线l平行于直线l1，其方程为y=
x+m，代入椭圆方程
+
=1，消去y，得
16x2+10
mx+5(m2-4) =0，
由△100×3m2-4×16×5（m2-4）=0，
解得m=8或m=-8．
从图中可以看出，当m=8时，直线l与C2的公共点到直线l的距离最近，此时直线l的方程为y=
x+8，l与l1之间的距离为d=
=3．
又直线l2到C1和C2的最短距离d′=6-
，而d'＞3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3．
设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，
得
≥3，所以n≥4．
故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年．
当x≥2时，由题意知(x-4)2+y2=
| 36 |
| 5 |
当x＜2时，由|PA|+|PB|=4
| 5 |
| 5 |
(2
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| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 4 |
故考察区域边界曲线（如图）的方程为C1：(x-4)2+y2=
| 36 |
| 5 |
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为y=
| 3 |
设直线l平行于直线l1，其方程为y=
| 3 |
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 4 |
16x2+10
| 3 |
由△100×3m2-4×16×5（m2-4）=0，
解得m=8或m=-8．
从图中可以看出，当m=8时，直线l与C2的公共点到直线l的距离最近，此时直线l的方程为y=
| 3 |
| |14-8| | ||
|
又直线l2到C1和C2的最短距离d′=6-
6
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| 5 |
设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，
得
| 0.2(2n-1) |
| 2-1 |
故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年．
点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用和数形结合的合理运用．
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新思维假期作业寒假吉林大学出版社系列答案
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km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4
km的区域， 
