Question

已知（1-2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，（n∈N^*），且a₂=60．
（1）求n的值；  
（2）求-

a1

2

+

a2

22

-

a3

23

+…+（-1）ⁿ

an

2n

的值．

Answer 1

分析：（1）利用通项公式求得 a₂=2n（n-1）=60，由此解得n的值．
（2）由于T_r+1=

C

r 6

•（-2x）^r=a_r•x^r，可得 a_r=（-2）^r•

C

r 6

，故有（-1）^r•

ar

2r

=

C

r 6

．由此可得，
要求的式子可化为 

C

1 6

+

C

2 6

+

C

3 6

+…+

C

6 6

，运算可得结果．

解答：解：（1）由题意可得 T3=

C

2 n

(-2x)2=4•

n(n-1)

2

x²，故有 a₂=2n（n-1）=60，解得n=6．
（2）由于T_r+1=

C

r 6

•（-2x）^r=a_r•x^r，∴a_r=（-2）^r•

C

r 6

，∴（-1）^r•

ar

2r

=

C

r 6

．
故-

a1

2

+

a2

22

-

a3

23

+…+（-1）ⁿ

an

2n

=

C

1 6

+

C

2 6

+

C

3 6

+…+

C

6 6

=2⁶-1=63．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．