Question

已知（1+2

x

）ⁿ展开式中某项的系数恰为它的前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的

5

6

，求该展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出相邻三项的系数，据题意，列出方程，利用组合数公式先求出n的值；再设系数最大的项为第s+1项，令它的系数大于等于第s项的系数同时大于等于第s+1项的系数，列出不等式组，利用组合数公式求出s的值，求出二项式展开式中系数最大的项．

解答：解：根据题意，设该项为第r+1项，则有

C r n 2r=2 C r-1 n 2r-1 C r n 2r= 5 6 C r+1 n 2r+1

即

C r n = C r-1 n C r n = 5 3 C r+1 n

亦即

n=2r-1 n! r!(n-r)! = 5 3 n! (r+1)!(n-r-1)!

解得

r=4 n=7.

，∴n=7．
设第s+1项系数最大，则有

C s 7 2s≥ C s-1 7 2s-1 C s 7 2s≥ C s+1 7 2s+1

即

2 C s 7 ≥ C s-1 7 C s 7 ≥2 C s+1 7

亦即

2 7! s!(7-s)! ≥ 7! (s-1)!(7-s+1)! 7! s!(7-s)! ≥2 7! (s+1)!(7-s-1)!

解得

2 s ≥ 1 8-s 1 7-s ≥ 2 s+1

，

13

3

≤s≤

16

3

，∴s=5
∴二项式展开式中系数最大的项为T₆=672x  

5

2

．

点评：本题以二项展开式的通项为载体，考查二项展开式的通项公式的运用，求展开式的特殊项问题时采用二项展开式的通项公式、二项展开式的系数最大的项的求法是设出系数最大的项，令该项的系数大于等于它前一项的系数同时等于等于它后一项的系数．