Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F(c，0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若，求直线PQ的方程；

（3）设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M．证明．

 

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力． （1）解：由题意，可设椭圆的方程为． 由已知得，解得，c=2．所以椭圆的方程为． （2）解：由（1）可得A(3，0)．设直线PQ的方程为y=k(x-3)．由方程组 得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0 依题意D=12(2-3k2)>0，得． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则……② 由直线PQ的方程得y1=k(x1-3)，y2=(x2-3)．于是 y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9]……③ ∵ ，∴ x1x2+y1y2=0……④ 由①、②、③、④得5k2=1，从而． 所以直线PQ的方程为 （3）证明：，由已知得方程组 因F(2，0)M(x1，-y1) 故 而．