Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点 .

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若，求直线PQ的方程；

（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.

 

Answer 1

【答案】

（1），离心率.（2）或.（3）证明：见解析。

【解析】

试题分析：（1）由题意，可设椭圆的方程为.由已知得

解得，所以椭圆的方程为，离心率.

（2）解：由（1）可得A（3，0） .设直线PQ的方程为 .由方程组

得，依题意，得 .

设，则， ① . ②，由直线PQ的方程得

 .于是 . ③

∵，∴ .  ④，由①②③④得，从而.

所以直线PQ的方程为或.

（3）证明：.由已知得方程组

注意，解得，因，故

 .

而，所以.

考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及平面向量的基础知识。

点评：是一道综合性较强的题目，较全面的考查了椭圆、直线于椭圆以及平面向量的基础知识。解答中从联立方程组出发，运用韦达定理，体现了整体观，是解析几何问题中的常见类型。