Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2

2

，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若

OP

•

OQ

=0，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)，由已知解得a=

6

，c=2，所以椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1，离心率e=

6

3

．
（2）由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x-3），由方程组

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0．依题意△=12（2-3k²）＞0，得-

6

3

＜k＜

6

3

．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），然后由根与系数的位置关系可知直线PQ的方程为x-

5

y-3=0或x+

5

y-3=0．

解答：（1）解：由题意，可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)
由已知得

a2-c2=2 c=2( a2 c -c)

解得a=

6

，c=2
所以椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1，离心率e=

6

3

（2）解：由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x-3），由方程组

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0
依题意△=12（2-3k²）＞0，得-

6

3

＜k＜

6

3

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则x1+x2=

18k2

3k2+1

①x1x2=

27k2-6

3k2+1

②
由直线PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）
于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]③
∵

OP

•

OQ

=0∴x₁x₂+y₁y₂=0④
由①②③④得5k²=1，从而k=±

5

5

∈(-

6

3

 ， 

6

3

)
所以直线PQ的方程为x-

5

y-3=0或x+

5

y-3=0

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．