Question

【题目】已知抛物线的方程为，其焦点为，为过焦点的抛物线的弦，过分别作抛物线的切线，，设，相交于点．

（1）求的值；

（2）如果圆的方程为，且点在圆内部，设直线与相交于，两点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）0（2）

【解析】

（1）设，，设的方程为，代入抛物线方程得，得到，利用函数的导数求解切线的斜率，即可得出结果．

（2）由（1）知， 以及在点，处的切线方程，联立两切线方程，得到交点．由点在圆内，得到，再求出弦长，求出到直线的距离，利用构造法结合基本不等式求解最小值即可．

（1）设，，因为，

所以设的方程为，

代入抛物线方程得，从而，，

又由得，所以，，

因此，即，

所以．

（2）由（1）知，在点，处的切线方程分别为，，由两切线方程联立，解得：交点．

由点在圆内，得，

又因为，，其中为到直线的距离．

所以．

又的方程为，所以，

令，由得．又由，所以，

从而．

所以，当时，．