Question

1．已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=30°，$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=2m•$\overrightarrow{AO}$，则m的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据向量的三角形法则结合向量数量积的运算进行化简求解即可．

解答 解：∵$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=2m•$\overrightarrow{AO}$，
∴$\frac{cosB}{sinC}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+$\frac{cosC}{sinB}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=2m•$\overrightarrow{AO}$，
即$\frac{cosB}{sinC}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OA}$+$\frac{cosC}{sinB}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OA}$=2m•$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OA}$，
则$\frac{cosB}{sinC}$•（$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OA}$）+$\frac{cosC}{sinB}$•（$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OA}$）=2m•$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AO}$，
即$\frac{cosB}{sinC}$•|$\overrightarrow{OA}$|²（cos2C-1）+$\frac{cosC}{sinB}$•|$\overrightarrow{OA}$|²（cos2B-1）=-2m|$\overrightarrow{OA}$|²，
即$\frac{cosB}{sinC}$•（cos2C-1）+$\frac{cosC}{sinB}$•（cos2B-1）=-2m，
则-2cosBsinC-2cosCsinB=-2m，
即-2sin（B+C）=-2m，
则m=sin（B+C）=sinA=sin30°=$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查向量数量积的运算以及向量三角形法则的应用，考查学生的运算和推理能力．