Question

如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．
（1）求证：AG•EF=CE•GD；
（2）求证：

GF

AG

=

EF2

CE2

．

Answer 1

分析：（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．
（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG²=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．

解答：证明：（1）连接AB，AC，
∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，
∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，
∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，
∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，
∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，
∴△CEF∽△AGD，
∴

CE

EF

=

AG

GD

，
∴AG•EF=CE•GD

（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，
∠G=∠G，
∴△DFG∽△AGD，
∴DG²=AG•GF，
由（1）知

EF2

CE2

=

GD2

AG2

，
∴

GF

AG

=

EF2

CE2

．

点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．