Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E为BC的中点，F为直线CC₁上的动点，设

C1F

=λ

FC

（1）当λ=1时，求二面角F-DE-C的余弦值；
（2）当λ为何值时，有BD₁⊥EF？

Answer 1

分析：（1）λ=1时，

C1F

=

FC

，以C为原点，CB为x轴，DC为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，则

DF

=(0，2，2)，

EF

=(-1，0，2)，设平面FDE的法向量为

n

，则

n

=(0，0，1)，设平面FDE的法向量为

m

=（x，y，z），由

m

•

EF

=0，

m

•

DF

=0，得

m

=（2，-1，1），由向量法能求出二面角F-DE-C的余弦值．
（2）由D₁（0，-2，4），B（2，0，0），E（1，0，0）设F（0，0，t），则

BD1

=(-2，-2，4)，

EF

=(-1，0，t)，要使EF⊥BD₁，只要

EF

•

BD1

=0，由此能求出λ．

解答：解：（1）λ=1时，

C1F

=

FC

，
以C为原点，CB为x轴，DC为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E为BC的中点，
∴E（1，0，0），F（0，0，2），D（0，-2，0），F（0，0，2），
∴

DF

=(0，2，2)，

EF

=(-1，0，2)，
设平面FDE的法向量为

n

，则

n

=(0，0，1)，
设平面FDE的法向量为

m

=（x，y，z），则

m

•

EF

=0，

m

•

DF

=0，
∴

-x+2z=0 2y+2z=0

，
∴

m

=（2，-1，1），
∴cos＜

m

，

n

＞= 

m • n

| m |• | n |

=

6

6

，
∴二面角F-DE-C的余弦值为

6

6

．
（2）∵D₁（0，-2，4），B（2，0，0），E（1，0，0）
设F（0，0，t），则

BD1

=(-2，-2，4)，

EF

=(-1，0，t)，
∵EF⊥BD₁，
∴

EF

•

BD1

=0，
∴2+4t=0，
解得t=-

1

2

．
∴F（0，0，-

1

2

）
∴

C1F

=(0，0，-

9

2

)，

FC

=(0，0，

1

2

)，
∴λ=

C1F

FC

=-9．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法和求λ为何值时，有BD₁⊥EF．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地把空间问题转化为平面问题，注意向量法的灵活运用．