Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求点A到平面BDF的距离；
（3）试计算多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）证明AM∥面BDE，只需证明AM∥EG，证明四边形EGAM为平行四边形即可；
（2）连接FG，证明AF⊥正方形ABCD，进而可得BD⊥面AFG，从而面BDF⊥面AFG，AO⊥面AFG，由此可求点A到平面BDF的距离；
（3）根据多面体ABCDEF的体积为

1

3

S_ACEF×BD，可得结论．

解答：（1）证明：设AC交BD为G，连接EG，
∵M是线段EF的中点，G是AC的中点，ACEF为矩形
∴四边形EGAM为平行四边形，
∴AM∥EG，
∵AM?面BDE，EG?面BDE
∴AM∥面BDE；
（2）解：连接FG，FG∩AM=O，∵AB=

2

，AF=1，∴AFMG为正方形，∴AO⊥FG
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∵正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
∴AF⊥正方形ABCD
∴AF⊥BD
∵AC∩AF=A
∴BD⊥面AFG
∵BD?面BDF
∴面BDF⊥面AFG
∵AO⊥FG
∴AO⊥面AFG
在△AFG中，AF=1，AG=1，∴AO=

2

2

∴点A到平面BDF的距离为

2

2

；
（3）解：多面体ABCDEF的体积为

1

3

S_ACEF×BD=

1

3

×2×1×2=

4

3

点评：本题考查线面平行，点面距离，多面体的体积，掌握线面平行的判断方法，确定线面线面垂直时关键．