Question

16．若点 P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=2px（p＞0）上的不同的三个点，直线AP，BP的斜率分别是k₁，k₂，若k₁+k₂=0．
（1）求抛物线的方程；
（2）求y₁+y₂的值及直线AB的斜率k．

Answer 1

分析 （1）把P的坐标代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可求；
（2）分别设出直线PA、PB的方程，和抛物线方程联立，利用根与系数的关系求出A，B的纵坐标，作和得答案；再由斜率公式求出AB的斜率，整体代入y₁+y₂的值求得直线AB的斜率k．

解答 解：（1）∵P（1，2）在抛物线y²=2px（p＞0）上，
∴2²=2p，即p=2，
∴抛物线方程为y²=4x；
（2）由题意设PA所在直线方程为y-2=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-4y-4k+8=0．
∴${y}_{1}+2=\frac{4}{k}$，得${y}_{1}=\frac{4}{k}-2$．
设PB所在直线方程为y-2=-k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-k（x-1）+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²+4y-4k-8=0．
∴${y}_{2}+2=-\frac{4}{k}$，得${y}_{2}=-\frac{4}{k}-2$．
∴y₁+y₂=-4；
${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{4}}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}=\frac{4}{-4}=-1$．

点评 本题考查抛物线的方程，考查了直线与抛物线的关系，体现了“设而不求”的解题思想方法和整体运算思想方法，是中档题．