Question

8．若关于x的不等式x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$-a≤0有解，其中x≥-2，则实数a的最小值为（　　）

• A． 1-$\frac{1}{e}$
• B． 2-$\frac{2}{e}$
• C． $\frac{2}{e}$-1
• D． 1+2e²

Answer 1

分析 分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可

解答 解：化简可得a≥x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
设f（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=3x²-3-$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
故当x∈[-2，1）时，g′（x）＜0，
当x∈[1，+∞）时，g′（x）＞0，
故f（x）在[-2，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；
故f_min（x）=g（1）=1-3+3-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{1}{e}$，
故选：A．

点评 本题考查了不等式的化简与应用，同时考查了导数的综合应用及存在性问题的应用．