Question

如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于AB两点．
（Ⅰ）如果sin，点B的横坐标为，求cos（α+β）的值；
（Ⅱ）已知点C（2，-2），求函数f（α）=•的值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由α为锐角，得到cosα的值大于0，由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，再由B的横坐标，及单位圆半径为1，利用三角函数定义求出cosβ的值，由β为锐角，得到sinβ的值大于0，由cosβ的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，将所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算，即可求出值；
（Ⅱ）表示出两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值确定出f（α），由α为锐角，求出这个角的范围，利用余弦函数的图象与性质求出余弦函数的值域，即可得出f（α）的值域．
解答：解：（Ⅰ）∵α是锐角，sinα=，
∴cosα==，
∵点B的横坐标为，单位圆半径为1，
∴根据三角函数的定义，得cosβ=，
又∵β是锐角，
∴sinβ==，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=-；
（Ⅱ）由题意可知，=（cosα，sinα），=（2，-2），
∴f（α）=•=2cosα-2sinα=4cos（α+），
∵0＜α＜，
∴＜α+＜，
∴-＜cos（α+）＜，即-2＜f（α）＜2，
∴函数f（α）的值域为（-2，2）．
点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，余弦函数的定义域与值域，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．