Question

如图，在平面直角坐标中，一定长m的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，设点M满足=λ(λ是大于0，且不等于1的常数).

试问：是否存在定点E、F，使|ME|、|MB|、|MF|成等差数列？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：假设存在两个定点E、F，使|EM|、|MB|、|MF|成等差数列，则|ME|+|MF|=2|MB|.∵|MB|=为定值，设M(x,y),A(a,0),B(0,b),∵=,∵, ,∴a=(1+λ)x,b=,又a²+b ²=m ²,∴(1+λ) ²x²+y²=m²,∵λ＞0且λ≠1,轨迹为椭圆型的曲线.?

(1)当0＜λ＜1时方程化为,∴这个椭圆的长半轴长为,焦点为（,0）.∴|ME|+|MF|==2·|MB|,此时焦点为符合条件的两个定点.?

(2)当λ＞1, ,此时长半轴为,而不是,故不存在符合条件的两定点.