Question

17．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为常数）
（1）若f（-1）=0，且f（x）最小值为0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$，已知a＞0，且f（x ）为偶函数，当mn＜0，m+n＞0时，证明：F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用f（-1）=0和函数f（x）的值域为[0，+∞），建立方程关系，即可求出a，b，从而确定F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，利用g（x）=f（x）-kx的单调区间与对称轴之间的关系建立不等式进行求解即可．
（3）利用mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，得到b=0，然后判断F（m）+F（n）的取值．

解答 解：（1）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0，①
∵函数f（x）的值域为[0，+∞），
∴a＞0且判别式△=0，即b²-4a=0，②
由①②得a=1，b=2．
∴f（x）=ax²+bx+1=x²+2x+1．
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1，x＞0}\\{{-x}^{2}-2x-1，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
函数的对称轴为x=-$\frac{2-k}{2}$=$\frac{k-2}{2}$，
要使函数g（x）=f（x）-kx，在x∈[-2，2]上是单调函数，
则区间[-2，2]必在对称轴的一侧，
即$\frac{k-2}{2}$≥2或$\frac{k-2}{2}$≤-2，
解得k≥6或k≤-2．
即实数k的取值范围是k≥6或k≤-2．
（3）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
即ax²-bx+1=ax²+bx+1，
∴2bx=0，解得b=0．
∴f（x）=ax²+1．
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}+1x＞0}\\{-{ax}^{2}-1，x＜0}\end{array}\right.$，
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，
不妨设m＞n，则m＞0，n＜0，
∴F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）=a（m-n）（m+n），
∵m+n＞0，a＞0，m-n＞0，
∴F（m）+F（n）=a（m-n）（m+n）＞0．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数单调性与对称轴之间的关系．要求熟练掌握二次函数的相关知识