Question

12．过抛物线$x=\frac{1}{4}{y^2}$的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O是坐标原点，抛物线的准线与x轴交于点M，若|AF|=4，则△AMB的面积为（　　）

• A． $\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{7\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用抛物线的定义，求出A，B的坐标，再计算△AMB的面积．

解答 解：抛物线$x=\frac{1}{4}{y^2}$即为y²=4x的准线l：x=-1．
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=-1的距离为4，
∴1+x_A=4，
∴x_A=3，
∴y_A=±2$\sqrt{3}$，
不妨设A（3，2$\sqrt{3}$），
∴S_△AFM=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵F（1，0），
∴直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
解得B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴S_△BFM=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△AMB=S_△AFM+S_△BFM=2$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
故选：C

点评 本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A，B的坐标是解题的关键．