Question

2．已知抛物线y²=2px（p＞0），倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线AB过抛物线的焦点F且与抛物线交于A，B两点（|AF|＞|BF|）．过A点作抛物线的切线与抛物线的准线交于C点，直线CF交抛物线于D，E两点（|DF|＜|FE|）．直线AD，BE相交于G，则$\frac{{{S_{△ABC}}}}{{{S_{△ABG}}}}$=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 利用直线AB与抛物线相交，求A，B出的坐标，写求出直线AC和C的坐标．易得直线CF与AB关于x轴对称．
所以AD与BE关于x轴对称，所以x_D=x_E，且G点在x轴上．G到直线AB的距离d₁，点C到直线AB的距离d₂，则$\frac{{{S_{△ABC}}}}{{{S_{△ABG}}}}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$即可得到答案．

解答 解：直线AB过抛物线的焦点F且与抛物线交于A，B两点，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x+\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，解得A（，$（\sqrt{2}+\frac{3}{2}）P$，$（\sqrt{2}+1）P$），B（$（\sqrt{2}-1）P$，$（\sqrt{2}-\frac{1}{2}）P$）
过A点作抛物线的切线与抛物线的准线交于C点，可得：C（$-\frac{P}{2}$，P）
∴直线CF：$y=-（x-\frac{p}{2}）$
 易得直线CF与AB关于x轴对称．
所以AD与BE关于x轴对称，所以x_D=x_E，且G点在x轴上．
x_D=x_E=$（\frac{3}{2}-\sqrt{2}）P$，${y}_{D}=（\sqrt{2}-1）P$．
直线AD的方程为：$y-（\sqrt{2}-）P=\frac{\sqrt{2}}{2}[x-（\sqrt{2}-\frac{3}{2}）P]$，与y=0联立解得x=-$\frac{P}{2}$，
所以：点G到直线AB的距离d₁=$\frac{p}{\sqrt{2}}$
点C到直线AB的距离d₂=|CF|=$\sqrt{2}P$；
因此：$\frac{{{S_{△ABC}}}}{{{S_{△ABG}}}}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=2，
故选：C．

点评 本题考查了抛物线的性质的运用，抛物线的特性（对称轴性）的运用能力和计算能力，综合性强，属于难题．