Question

已知，a，b，c∈[0，1]．求证：

a

1+b+c

+

b

1+a+c

+

c

1+a+b

+（1-a）（1-b）（1-c）≤1．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：推理和证明

分析：思路分析：设0≤a≤b≤c≤1，根据已知，先放大

a

1+b+c

+

b

1+a+c

+

c

1+a+b

≤

a+b+c

a+b+1

，再证明

a+b+c

a+b+1

+（1-a）（1-b）（1-c）≤1，再作适当的放缩即可．

解答： 证明：设0≤a≤b≤c≤1，则

a

1+b+c

+

b

1+a+c

+

c

1+a+b

≤

a+b+c

a+b+1

，
要证明原不等式成立，只需证明：

a+b+c

a+b+1

+（1-a）（1-b）（1-c）≤1即可，
因为左边=

a+b+1

a+b+1

+

c-1

a+b+1

+（1-a）（1-b）（1-c）
=1-

1-c

a+b+1

[1-（1+a+b）（1-a）（1-b）]，
而（1+a+b）（1-a）（1-b）≤（1+a+b+ab）（1-a）（1-b）=（1+a）（1+b）（1-a）（1-b）=（1-a²）（1-b²）≤1，
所以，1-（1+a+b）（1-a）（1-b）≥0，-

1-c

a+b+1

[1-（1+a+b）（1-a）（1-b）]≤0，
所以1-

1-c

a+b+1

[1-（1+a+b）（1-a）（1-b）]≤1，即

a+b+c

a+b+1

+（1-a）（1-b）（1-c）≤1成立，
故原不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查放缩法与分析法的综合运用，考察转化思想与推理证明的能力，属于难题．