题目内容
【题目】已知集合
，
，
，令
表示集合
所含元素的个数.
（1）写出
的值；
（2）当
时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）13
（2）
【解析】
试题（1）根据题意按
分类计数：
共13个（2）由（1）知
，所以当
时，
的表达式要按
除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明
试题解析：（1）
．
（2）当时，（
）．
下面用数学归纳法证明：
①当
时，
，结论成立；
②假设
（
）时结论成立，那么
时，
在
的基础上新增加的元素在
，
，
中产生，分以下情形讨论：
1）若
，则
，此时有
，结论成立；
2）若
，则
，此时有
，结论成立；
3）若
，则
，此时有
，结论成立；
4）若
，则
，此时有
，结论成立；
5）若
，则
，此时有
，结论成立；
6）若
，则
，此时有
，结论成立．
综上所述，结论对满足的自然数
均成立．
练习册系列答案
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【题目】某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担．若厂商恰能在约定日期（×月×日）将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元．为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：
统计信息 | 在不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天） | 在堵车的情况下到达城市乙所需时间（天） | 堵车的概率 | 运费（万元） |
公路1 | 2 | 3 |
| 1．6 |
公路2 | 1 | 4 |
| 0．8 |
（1）记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为
（单位：万元），求的分布列和数学期望
；
（2）如果你是牛奶厂的决策者，你选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？
（注：毛收入＝销售商支付给牛奶厂的费用－运费）
