题目内容
【题目】如图，有一块三棱锥形木块
，各面均是锐角三角形，其中面
内有一点
.
（1）若要在面内过点画一条线段
，其中点
在线段
上，点
在线段
上，且满足与
垂直，该如何求作？请在图中画出线段并说明画法，不必证明；
（2）经测量，
，
，
，
，若恰为三角形的重心，为（1）中所求线段，求三棱锥
的体积.
【答案】（1）作图详见解析；（2）
.
【解析】
（1）先在
上任取一点
，分别在平面
和平面
内作的垂线分交
、
于点
、
，可得出
平面
，进而得出
，然后分两种情况讨论，
和
，即可作出
；
（2）先证明出
，根据重心的性质得出三棱锥
的体积为三棱锥
体积的
，利用余弦定理计算出、
，进而计算出
的面积，由此可计算出三棱锥的体积，进而得出三棱锥的体积.
（1）如图，在上任取一点；
过点在平面内作的垂线，交于；
过点在平面内作的垂线，交于.
连接
，若过点
，则就是所求线段；
若不过点，则过点作的平行线，与、相交即得线段.
（2）取
中点
，连
、
，
因为为三角形
的重心，故在上，且
.
由题意知，
，
，
，故
平面
，
平面，
，
又
，与共面，于是，
，
故三棱锥的体积为三棱锥体积的.
，
，则
为等边三角形，
，
，
在
中，由余弦定理得
，
整理得
，解得
或
.
若，此时为等腰三角形，
，
，合乎题意；
若，则
，
为钝角，不合乎题意.
同理可得
，
，
在中，
，
，
，由余弦定理得
，
，
，
故
.
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