Question

【题目】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆交于P，Q两点．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设椭圆的左顶点为A，记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k1k2＝－，求实数m的值．

Answer 1

【答案】(1)＋＝1；(2)①－，②m＝1

【解析】

（1）题意说明，由这两个条件可求得椭圆方程；

（2）①设P(x0，y0)，由于m＝0，则Q(－x0，－y0)，点在椭圆上得出，然后直接计算即得；

②由(1)得A(－2，0)．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直接方程与椭圆方程联立消元由韦达定理得，代入k1k2＝·＝·，整理后可求得．

(1)因为椭圆C的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×＝8，所以a＝2，c＝1，所以b2＝3，

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)①设P(x0，y0)，由于m＝0，则Q(－x0，－y0)，

由＋＝1，得，

所以.

②由(1)得A(－2，0)．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

联立消去y，得(3＋4k2)x2－8mk2x＋4m2k2－12＝0，

所以x1＋x2＝，x1·x2＝.

而k1k2＝·＝·

＝＝－，

化简得＝－，即m2k2＋mk2－2k2＝0.

因为k2≠0，所以m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2(舍去)．

当m＝1时，Δ＞0，所以，m＝1.