Question

【题目】如图，已知直线交抛物线于、两点（点在点左侧），过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使得直线与抛物线在点处的切线平行，设直线与抛物线交于、两点．

（1）记直线、的斜率分别为、，证明：；

（2）若，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）设，，，利用导数的几何意义及直线的斜率公式求解；

（2）根据及，可得，表示出、，再表示出，得到，设线段的中点为，求出，最后根据的中点与点的连线平行于轴，得，从而得结果．

（1）由得，，则．

设点，由导数的几何意义知，直线的斜率为．

由题意知点．设点、，

则，即．

因为，，

所以；

（2）由且可知，，

不妨设点在上方，则，

直线的方程为．

由，得点的坐标为．

所以，同理可得．

所以，得．

设线段的中点为，

则点的坐标为，即，

连接，易知，

所以．