题目内容

已知双曲线C： $数学公式$ （a＞0，b＞0）的右准线与一条渐近线交于点M，F是右焦点，若|MF|=1，且双曲线C的离心率 $数学公式$ ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若 $数学公式$ 且 $数学公式$ ，求直线l斜率k的取值范围．

解：（1）由对称性，不妨设M是右准线 $\text{[math]}$ 与一渐近线 $\text{[math]}$ 的交点，
其坐标为M（ $\text{[math]}$ ），∵|MF|=1，∴ $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
解得a²=2，b²=1，所以双曲线C的方程是 $\text{[math]}$ ；（6分）
（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由 $\text{[math]}$ 得：（1-2k²）x²-4kx-4=0，
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 且k＜0①（9分）
又∵ $\text{[math]}$ 且P在A、Q之间， $\text{[math]}$ ，∴x₁=λx₂且 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是减函数（∵f′（λ）＜0），
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ②（12分）
由①②可得： $\text{[math]}$ ，（13分）
即直线l斜率取值范围为 $\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）利用双曲线的右准线与一条渐近线交于点M，可求点M的坐标，由|MF|=1，可得方程，借助于离心率 $\text{[math]}$ 及几何量的关系，从而求出双曲线的方程；
（2）将直线与双曲线的方程联立可得（1-2k²）x²-4kx-4=0，，从而可有 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 且k＜0，再根据 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，从而可求k的取值范围．
点评：本题考查双曲线标准方程的求解，关键是寻找几何量之间的关系，考查直线与双曲线的位置关系，通过联立方程组，借助于根与系数的关系，从而使问题得解．