Question

（2011•崇明县二模）如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），M为椭圆上的一个动点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，A、B分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点．当MF₂⊥F₁F₂时，原点O到直线MF₁的距离为

1

3

|OF₁|．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）过F₂作与直线AB垂直的直线，交椭圆于P、Q两点，当三角形PQF₁面积为20

3

时，求此时椭圆的方程；
（3）当点M在椭圆上变化时，求证：∠F₁MF₂的最大值为

π

2

．

Answer 1

分析：（1）利用MF₂⊥F₁F₂，可求点M坐标，利用原点O到直线MF₁的距离为

1

3

|OF₁|，可得几何量之间的关系，从而可求a，b满足的关系式；
（2）假设直线l方程与椭圆方程联立，进而可表示出三角形PQF₁面积，利用条件可求；
（3）在△F₁MF₂中，利用余弦定理表示出∠F₁MF₂，利用基本不等式即可求解．

解答：解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），A（a，0），B（0，b）
因为MF₂⊥F₁F₂，所以点M坐标为M(c，

b2

a

)
所以MF₁方程b²x-2acy+b²c=0
O到MF₁距离d= 

b2c

b4+4a2c2

=

1

3

c，整理得2b⁴=a²c²
所以

a2=b2+c2 2b4=a2c2

，解得a=

2

b
（2）设直线l方程为y=

2

(x-b)，直线与椭圆交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F₁到直线PQ的距离为h
解联立方程

y= 2 (x-b) x2+2y2=2b2

得5x²-8bx+2b²=0，PQ=

6 2

5

b，h=

2 6 b

3

所以S△PQF1=

4

5

3

b2=20

3

所以b²=25，a²=50
∴椭圆方程为

x2

50

+

y2

25

=1
（3）设MF₁=m，MF₂=n，m+n=2a
由余弦定理得cos∠F1MF2=

m2+n2-4c2

2mn

=

2b2

mn

-1
因为0＜mn≤

(m+n)2

4

=2b2，
所以cos∠F₁MF₂≥0
当且仅当m=n=a=

2

b，cos∠F1MF2=0
由三角形内角及余弦单调性知有最大值∠F1MF2=

π

2

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系，主要考查直线与椭圆的位置关系，关键是联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理解决弦长问题，同时考查了基本不等式的运用．