Question

【题目】已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|＝3，

（1）求抛物线E的方程；

（2）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）证明见解析

【解析】

（1）由抛物线定义可得：|AF|＝23，解得p．即可得出抛物线E的方程．

（2）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2＝0，解得B．又G（﹣1，0），计算kGA，kGB，可得kGA+kGB＝0，∠AGF＝∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

解法一：（1）由抛物线定义可得：|AF|＝23，

解得p＝2．

∴抛物线E的方程为y2＝4x；

（2）∵点A（2，m）在抛物线E上，

∴m2＝4×2，

解得m，

不妨取A，F（1，0），

∴直线AF的方程：y＝2（x﹣1），

联立，化为2x2﹣5x+2＝0，

解得x＝2或，B．

又G（﹣1，0），

∴kGA．kGB，

∴kGA+kGB＝0，

∴∠AGF＝∠BGF，∴x轴平分∠AGB，

因此点F到直线GA，GB的距离相等，

∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

解法二：（1）同解法一．

（2）点A（2，m）在抛物线E上，

∴m2＝4×2，解得m，不妨取A，F（1，0），

∴直线AF的方程：y＝2（x﹣1），

联立，化为2x2﹣5x+2＝0，

解得x＝2或，B．

又G（﹣1，0），

可得直线GA，GB的方程分别为：x﹣3y+20，0，

点F（1，0）到直线GA的距离d，

同理可得点F（1，0）到直线GB的距离．

因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．