Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线的方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）时，的单调增区间为；单调减区间为和；

时，的单调增区间为和；单调减区间为.

（3）.

【解析】

（1）求出函数的导函数，代入，求得，再求，利用直线方程的点斜式求解即可.

（2）求出，通过讨论的取值，分别求出，所对应的区间即为函数的单调区间.

（3）当时恒成立等价于在恒成立，令，由导数求出函数的最大值，即可求得的取值范围.

（1），得.

当时，，，即函数在处的切线斜率为0.

又,故曲线在点处切线的方程为.

(2).

,

①若，由得；由得，又，

所以在上单调递增，在和上单调递减.

②若，由得；由得，又，

所以在和上单调递增，在上单调递减.

综上所述，时，的单调增区间为；单调减区间为和.

时，的单调增区间为和；单调减区间为.

（3）时，恒成立,即在恒成立.

令，则.

则时，；，.

在上单调递减，在上单调递增，则.

.