题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
为棱
上的一点，且
，
为棱
的中点，
为棱
上的一点，若
平面
，
是边长为4的正三角形，
，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求直线
与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
(1)要证平面
平面
转证
平面
，结合条件面面垂直可证；
(2)先证明
平面
以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出直线
与平面
所成角的正弦值.
（1）取
的中点
，连结
，
因为
，所以
，
因为
平面，
平面，
平面
平面
，所以
，
又因为
，所以
，
所以为
的中点，又因为
为
的中点，
所以
，所以
，
因为平面
平面
，平面平面
，
平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知
，
在
中，由余弦定理得
，所以
，
所以
，所以
，
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
所以
，
，
设平面的法向量为
，
由
得
，取
，则
，
，所以
.
又
，
，
，
设直线平面所成角为
.
则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【题目】推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：
得分 |
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男性 人数 | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性 人数 | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
不太了解 | 比较了解 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 |
（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为ξ，求ξ的分布列和期望.
附：
，（n=a+b+c+d）.
临界值表：
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