Question

7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+4x
（1）求函数f（x），x∈R的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，4]，记函数g（x）的最大值为h（a），求函数h（a）的解析式，并写出函数h（a）的值域．

Answer 1

分析 （1）先设x＞0，则-x＜0，然后，根据x≤0时，f（x）=x²+4x的解析式可求出x＞0的解析式．
（2）化简函数的解析式，利用二次函数的性质求出最大值，求解函数h（a）的解析式，然后求解函数的值域即可．

解答 解：（1）设x＞0，则-x＜0．又因为当x≤0时，f（x）=x²+4x，
所以f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x，又因为f（-x）=f（x）．
所以x＞0时，f（x）=x²-4x．
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{{x}^{2}-4x，x＞0}\end{array}\right.$．
（2）函数g（x）=x²-4x-2ax+2=（x-a-2）²-（a+2）²+2，1≤x≤4，二次函数的对称轴为：x=a+2，
∴当a+2≤$\frac{5}{2}$，即a$≤\frac{1}{2}$时，g（a）=g（4）=-8a+2；
当a$＞\frac{1}{2}$时，g（a）=g（1）=-2a-1；
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-8a+2，a≤\frac{1}{2}}\\{-2a-1，a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴当a≤$\frac{1}{2}$时，g（a）=-8a+2，∴g（a）≥-2；
当a＞$\frac{1}{2}$时，g（a）=-2a-1，∴g（a）＞-2；
综上所得：g（a）≥-2，
故g（a）的值域为：[-2，+∞）．

点评 本题利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式．利用转化与化归的思想方法．考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．