题目内容

已知 $数学公式$ ，
（1）求函数f（x）的单调递减区间，并指出函数y=f（x）的图象是由函数 $数学公式$ 的图象经过怎样的变换得到的；
（2）当 $数学公式$ 时，求函数f（x）的最值，并求出函数取最值时的x的值．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$ （1+cos2x）+3sin2x- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x）
=2 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
$\text{[math]}$ +2kπ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z
∴f（x）的单调减区间[ $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]，k∈Z
y=2 $\text{[math]}$ sin2x向左平移 $\text{[math]}$ 得到y=2 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
（2）∵x∈[0， $\text{[math]}$ ]
∴2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
∴sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ，1]
∴当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，f（x）min=- $\text{[math]}$ ，
当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，f（x）max=2 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用两角和差的三角函数化简函数，得到y=2 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），进而得到单调递减区间；y=2 $\text{[math]}$ sin2x向左平移 $\text{[math]}$ 得到y=2 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，，求出2x+ $\text{[math]}$ 的范围，进而得到sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的范围，从而得到函数f（x）的范围，从而求得函数f（x）的最大值．
点评：本题考查两角和差的三角函数，求三角函数的值域，求三角函数的值域是解题的难点．