Question

20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosB-bcosC=$\frac{1}{3}$a．
（Ⅰ）证明：tanC=2tanB；
（Ⅱ）若a=3，tanA=$\frac{9}{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和等于π，两角和与差的公式进行化简，即可得到答案．
（Ⅱ）根据A+B+C=π⇒A=π-（B+C），利用（Ⅰ）的结论，化简，利用数形结合构造三角形的高，即可解决．

解答 解：（Ⅰ）∵ccosB-bcosC=$\frac{1}{3}$a．
∴sinCcosB-sinBcosC=$\frac{1}{3}$sinA
又∵A+B+C=π⇒A=π-（B+C）
∴sinCcosB-sinBcosC=$\frac{1}{3}$sin（B+C）
?sinCcosB-sinBcosC=$\frac{1}{3}$（sinBcosC+cosBsinC）
?tanC=2tanB；得证．
（Ⅱ）∵A=π-（B+C），tanA=$\frac{9}{7}$，
?-tan（B+C）=$\frac{9}{7}$，
?$-\frac{tanB+tanC}{1-tanB•tanC}=\frac{9}{7}$
由（Ⅰ）可知tanC=2tanB；
解得：tanB=$\frac{3}{2}$
过点A作AH∥BC与H，又tanC=2tanB，⇒BH=2CH
∵a=3，
∴BH=2
于是AH=BHtanB=3
${S}_{ABC}=\frac{1}{2}BC•AH=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$
故△ABC的面积为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理的运用和两角和与差的公式化简的能力．利用数形结合构造三角形的高来解三角形ABC的面积也是常用方法．属于中档题．