Question

在△ABC中，满足：

.

BA

•

.

BC

+2S△ABC=

2

|

.

BA

|•|

.

BC

|
（1）求∠B；
（2）求sin²A-sin²C的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用数量积运算和三角形的面积计算公式即可得出；
（2）利用倍角公式、两角和差的正弦余弦公式、三角函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵

.

BA

•

.

BC

+2S△ABC=

2

|

.

BA

|•|

.

BC

|，
∴accosB+2×

1

2

acsinB=

2

ac，
∴cosB+sinB=

2

sin(B+

π

4

)=

2

．
∴sin(B+

π

4

)=1，
∵B∈（0，π），∴(B+

π

4

)∈(

π

4

，

5π

4

)，
∴B+

π

4

=

π

2

，解得B=

π

4

．
（2）sin²A-sin²C
=

1-cos2A

2

-

1-cos2C

2

=

cos2C-cos2A

2

=

1

2

[cos2C-cos(

3π

2

-2C)]
=

1

2

(sin2C+cos2C)=

2

2

sin(2C+

π

4

)，
又

π

4

＜2C+

π

4

＜

7π

4

，
∴-

1

2

＜

2

2

sin(2C+

π

4

)≤1．
因此sin²A-sin²C的取值范围是(-

1

2

，1]．

点评：本题综合考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．