题目内容

在△ABC中，满足tan
A-B
2
=
a-b
a+b
．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）当a=10，c=10时，求tan
A
2
的值．
分析：（1）根据题设，可推断当a=b和a≠b两种情况．当a=b可推断△ABC为等腰三角形；当a≠b时通过正弦定理及题设，求得cot
A+B
2
的值，进而求出A+B进而推断△ABC的形状．
（2）根据a=c排除△ABC为直角三角形的情况，根据（1）可知a=b，进而推断△ABC为等边三角形，进而求出∠A和tan
A
2
的值．
解答：解：（1）∵tan
A-B
2
=
a-b
a+b

当a=b时，△ABC为等腰三角形
当a≠b时，根据正弦定理
a-b
a+b
=
sinA-sinB
sinA+sinB
=
2cos(
A+B
2
)sin(
A-B
2
)
2sin(
A+B
2
)cos(
A-B
2
)
=tan
A-B
2

∴cot
A+B
2
=1，即
A+B
2
=
π
4
，A+B=
π
2

∴△ABC为以C为直角的直角三角形．
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形
（2）a=c=10，排除△ABC为直角三角形，则△ABC为等腰三角形，即a=b，
又a=c=10，所以a=c=b
∠A=60°
故tan
A
2
=tan30°=
3
3
点评：本题主要考查和差化积和同角三角函数的基本关系的应用．属基础题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，AD⊥BC，
AD
=
1
5
AB
+
4
5
AC
．
（1）求
|
CD
|
|
DB
|
的值；
（2）设cosC=
5
5
，且实数t满足|
CB
-t
CA
|≥|
AB
+
AC
|，求t的取值范围．
下列命题：
（1）若函数f（x）=lg（x+
x2+a
），为奇函数，则a=1；
（2）函数f（x）=|sinx|的周期T=π；
（3）已知
a
=(sinθ，
1+cosθ
)，
b
=(1，
1-cosθ
)，其中θ∈（π，
3π
2
），则
a
⊥
b

（4）在△ABC中，
BA
=a，
AC
=b，若a•b＜0，则△ABC是钝角三角形
（ 5）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：
OP
=
OA
+λ(
AB
sinC
+
AC
sinB
)，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．
以上命题为真命题的是
（1）（2）（3）（5）
（1）（2）（3）（5）
．
在△ABC中，AC=10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD=5，且满足
AD
=
5
11
DB
．
（1）求|
AB
-
AC
|；
（2）存在实数t≥1，使得向量x=
AB
+t
AC
 ， y=t
AB
+
AC
，令k=x•y，求k的最小值．

(本小题12分)

在△ABC中,  ,  , 又点E在BC边上, 且满足 ,以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点.

(1)求此双曲线的方程.

(2)设M、N为双曲线在第一象限内不同的两点，若x轴上一点T到点M、N的距离相等，求点T横坐标的取值范围
下列命题：
（1）若函数f（x）=lg（x+），为奇函数，则a=1；
（2）函数f（x）=|sinx|的周期T=π；
（3）已知，其中θ∈（π，），则
（4）在△ABC中，=a，=b，若a•b＜0，则△ABC是钝角三角形
（ 5）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．
以上命题为真命题的是    ．

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