题目内容
在△ABC中，满足：
⊥
，M是BC的中点．
（1）若|
|=|
|，求向量
+2
与向量2
+
的夹角的余弦值；
（2）若点P是BC边上一点，|
|=2，且
•
=2
•
=2，求|
+
+
|的最小值．
| AB |
| AC |
（1）若|
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
（2）若点P是BC边上一点，|
| AP |
| AP |
| AC |
| AP |
| AB |
| AB |
| AC |
| AP |
分析：（1）根据向量数量积的公式，建立方程关系即可求
+2
与向量2
+
的夹角的余弦值；
（2）根据数量积公式直接求向量长度，利用基本不等式求向量长度的最值．
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
（2）根据数量积公式直接求向量长度，利用基本不等式求向量长度的最值．
解答：解：（1）设向量
+2
与向量2
+
的夹角为θ
∴cosθ=
，
令|
|=|
|=a
∴cosθ=
=
．
（2）设∠CAP=α⇒∠BAP=
-α
∵
•
=2，
•
=1，|
|=2
∴2•|
|cosα=2⇒|
|=
，2•|
|cos(
-α)=1⇒|
|=
-2分
∴|
+
+
|2=
2+
2+
2+2
•
+2
•
+2
•
=
+
+4+2+4--3
当且仅当
=
⇒tanα=
时，
|
+
+
|min=
．
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
∴cosθ=
(
| ||||||||
|
|
令|
| AB |
| AC |
∴cosθ=
| 2a2+2a2 | ||||
|
| 4 |
| 5 |
（2）设∠CAP=α⇒∠BAP=
| π |
| 2 |
∵
| AP |
| AC |
| AP |
| AB |
| AP |
∴2•|
| AC |
| AC |
| 1 |
| cosα |
| AB |
| π |
| 2 |
| AB |
| 1 |
| 2sinα |
∴|
| AB |
| AC |
| AP |
| AB |
| AC |
| AP |
| AB |
| AC |
| AC |
| AP |
| AB |
| AP |
| 1 |
| cos2α |
| 1 |
| 4sin2α |
|
当且仅当
| sin2α |
| cos2α |
| cos2α |
| 4sin2α |
| ||
| 2 |
|
| AB |
| AC |
| AP |
| 7 |
| 2 |
点评：本题主要考查平面向量数量积的应用，要求熟练掌握向量的数量积公式，考查学生的计算能力．
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