Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线交双曲线右支于A、B两点．若△ABF₁是以B为顶点的等腰三角形，且△AF₁F₂，△BF₁F₂的面积之比S△AF1F2：S△BF1F2=2：1，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

分析：△AF₁F₂，△BF₁F₂的面积之比S△AF1F2：S△BF1F2=2：1转化为AF₂=2F₂B，然后利用双曲线的定义分别将边长表示为a的关系，利用余弦定理建立a，c的方程，从而求出双曲线的离心率．

解答：解：因为△AF₁F₂，△BF₁F₂的面积之比S△AF1F2：S△BF1F2=2：1，
所以AF₂=2F₂B，
设BF₂=m，则AF₂=2m，所以BF₁=AB=3m．
又BF₁-BF₂=2m=2a，所以BF₁=3a，
又AF₁-AF₂=AF₁-2m=2a，所以AF₁=2a+2m=4a，
所以cos∠BAF₁=

2

3

等边三角形，
在△AF₁F₂中，4c2=16a2+4a2-2•4a•2a•

2

3

，
∴3c²=7a²，
∴e=

c

a

=

21

3

．
故答案为：

21

3

．

点评：本题考查双曲线的定义以及余弦定理的应用，将面积关系转化为长度关系，利用余弦定理求出边长和a，c之间的关系是解决本题的关键．