Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，连接AC、BD，交于点F，AC=6，BD=8，E是棱PB上的动点，△AEC面积的最小值是3，连接DE，
（1）求证：AC⊥DE；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）通过证明AC⊥平面PBD得出AC⊥DE；
（2）作FM⊥PB，垂足为M，则利用△PBD∽△FBM计算PD，代入棱锥的体积公式进行计算．

解答 证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又PD?平面PBD，BD?平面PBD，BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD，又DE?平面PBD，
∴AC⊥DE．
（2）作FM⊥PB，垂足为M，
则当E与M重合时，△ACE的面积取得最小值，
∴$\frac{1}{2}$AC•FM=3，∴FM=1．∴BM=$\sqrt{15}$，
∵△PBD∽△FBM，
∴$\frac{PD}{FM}=\frac{BD}{BM}$，即$\frac{PD}{1}=\frac{8}{\sqrt{15}}$，∴PD=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×8×\frac{8\sqrt{15}}{15}$=$\frac{64\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．