Question

20．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+3a，x＜1}\\{{a}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$满足对任意x₁≠x₂都有（x₁-x₂）•（f（x₁）-f（x₂））＜0成立，那么a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{1}{4}$，1）
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由已知可得函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+3a，x＜1}\\{{a}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$为减函数，故$\left\{\begin{array}{l}2a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 2a-1+3a≥a\end{array}\right.$，解得a的取值范围．

解答 解：若对任意x₁≠x₂都有（x₁-x₂）•（f（x₁）-f（x₂））＜0成立，
则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+3a，x＜1}\\{{a}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$为减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}2a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 2a-1+3a≥a\end{array}\right.$，
解得：a∈[$\frac{1}{4}$，1），
故选：C．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键．