题目内容
各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明
+
+…+
≤
对一切n∈N+恒成立．
解：（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2为首项为1，公差为2的等差数列，
∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则
（Ⅱ）只需证：
．
1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．
当n=2时，左边＜右边，所以命题成立
②假设n=k时命题成立，即
，
当n=k+1时，左边=
．
=
=
．命题成立
由①②可知，++…+≤对一切n∈N+恒成立．
分析：（Ⅰ）题意知an2为首项为1，公差为2的等差数列，由此可知
（Ⅱ）只需证：．由数学归纳法进行证明即可．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数学归纳法的证明技巧．
∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则
（Ⅱ）只需证：
．1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．
当n=2时，左边＜右边，所以命题成立
②假设n=k时命题成立，即
，当n=k+1时，左边=
．=
=
．命题成立由①②可知，
++…+≤对一切n∈N+恒成立．分析：（Ⅰ）题意知an2为首项为1，公差为2的等差数列，由此可知
（Ⅱ）只需证：
．由数学归纳法进行证明即可．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数学归纳法的证明技巧．
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