Question

各项都为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤

2n-1

对一切n∈N⁺恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）题意知a_n²为首项为1，公差为2的等差数列，由此可知an=

2n-1

（Ⅱ）只需证：1+

1

3

+…+

1

2n-1

≤ 

2n-1

．由数学归纳法进行证明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n²=2，∴a_n²为首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，又a_n＞0，则an=

2n-1

（Ⅱ）只需证：1+

1

3

+…+

1

2n-1

≤ 

2n-1

．
1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．
当n=2时，左边＜右边，所以命题成立
②假设n=k时命题成立，即1+

1

3

+…+

1

2k -1

≤

2k-1

，
当n=k+1时，左边=1+

1

3

+…+

1

2K-1

+

1

2K+1

≤

2K-1

+

1

2K+1

．
＜

2K-1

+

2

2K+1 + 2K-1

=

2K-1

+

2( 2K+1 - 2K-1 )

2

=

2(K+1)-1

．命题成立
由①②可知，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤

2n-1

对一切n∈N⁺恒成立．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数学归纳法的证明技巧．