Question

已知{a_n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）证明{S_n²}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{

1

S 2 n S 2 n+1

}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）令n=1，得a₁=1，令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²-2a₂-1=0．由此得a2=

2

-1．
（Ⅱ）2S_na_n-a₂ⁿ=1，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，所以S_n²-S_n-1²=1=1．故S_n²是首项为1，公差为1的等差数列．由此能求出求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）设{

1

S 2 n S 2 n+1

}的前n项和为T_n．Tn=

1

1×2

+

1

3×2

+…

1

n(n+1)

，再由一裂项求和法能求出其结果．

解答：解：（Ⅰ）令n=1，则有2a₂¹-a₂¹=1a₁=1（a₁=-1舍去）．
令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²-2a₂-1=0．
∴a2=

2

-1（舍去负值）．（3分）
（Ⅱ）∵2S_na_n-a₂ⁿ=1，①又n≥2时有a_n=S_n-S_n-1，代入①式并整理得
S_n²-S_n-1²=1=1．
∴S_n²是首项为1，公差为1的等差数列．（6分）
∴S_n²=1+n-1=n，∴an=sn-sn-1=

n

-

n-1

（n≥2），又a₁=1
∴an=

n

-

n-1

．（8分）
（Ⅲ）设{

1

S 2 n S 2 n+1

}的前n项和为T_n．
由（Ⅱ）知Tn=

1

1×2

+

1

3×2

+…

1

n(n+1)

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

+．
即{

1

S 2 n S 2 n+1

}的前n项和为

n

n+1

．（12分）

点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．