Question

（2009•重庆模拟）已知{a_n}是各项都为正数的数列，S_n为其前n项的和，且a₁=1，S_n=

1

2

(an+

1

an

)．
（I）分别求S₂²，S₃²的值；
（II）求数列{a_n}的通项a_n；
（III）求证：

1

2S1

+

1

3S2

+…+

1

(n+1)Sn

＜2(1-

1

Sn+1

)．

Answer 1

分析：（I）先把n=2代入S_n=

1

2

(an+

1

an

)；求出a₂进而求出求S₂²的值；同理求出S₃²的值即可．
（II）先根据S_n=

1

2

(an+

1

an

)得到s_n-1=s_n-a_n=

1

2

（a_n-

1

an

），进而得到{sn2}是首项为1，公差为1的等差数列；得到{sn2}的通项，进而求出数列{a_n}的通项；
（III）先令b_n=2（1-

1

sn+1

）=2（1-

1

n+1

），c_n=

1

(n+1)sn

=

1

(n+1) n

．再利用放缩法得到b_n-b_n-1＞c_n；最后求和整理即可得到结论．

解答：解：（I）令n=2，得1+a₁=

1

2

（a₂+

1

a2

）⇒a₂=

2

-1（舍去负的），
∴s₂=

2

⇒s22=2．
同理，令n=3可得s32=3．
（II）∵S_n=

1

2

(an+

1

an

)．
∴s_n-1=s_n-a_n=

1

2

（a_n-

1

an

），（n≥2）．
∴sn2-sn-12=

1

4

（a_n+

1

an

）²-

1

4

（a_n-

1

an

）²=1．
∴{sn2}是首项为1，公差为1的等差数列
∴sn2=n，
∴a_n=s_n-s_n-1=

n

-

n-1

，（n≥2）．
∴a_n=

1      (n=1) n - n-1   (n≥2)

．
（Ⅲ）令b_n=2（1-

1

sn+1

）=2（1-

1

n+1

），
c_n=

1

(n+1)sn

=

1

(n+1) n

．
∴b_n-b_n-1=2（1-

1

n+1

）-2（1-

1

n

）
=

2

n

-

2

n+1

=

2( n+1 - n )

n • n+1

=

2

n • n+1 ( n + n+1 )

＞

2

n • n+1 •( n+1 + n+1 )

=

1

n (n+1)

=c_n．
∴b_n-b_n-1＞c_n；
∴b_n-1-b_n-2＞c_n-1，…b₂-b₁＞c₂．
相加得：b_n-b₁＞c_n+c_n-1+…+c₂；
∴b_n＞c_n+c_n-1+…+c₂+b₁；
又∵b₁=2（1-

1

2

）=2-

2

＞

1

2

=c₁．
∴b_n＞c_n+c_n-1+…+c₂+c₁；
即

1

2S1

+

1

3S2

+…+

1

(n+1)Sn

＜2(1-

1

Sn+1

)成立．

点评：本题主要考察数列与不等式的综合问题．解决本题的关键在于根据S_n=

1

2

(an+

1

an

)得到s_n-1=s_n-a_n=

1

2

（a_n-

1

an

），进而得到{sn2}是首项为1，公差为1的等差数列；得到{sn2}的通项．，题后注意体会本题证明不等式的技巧及证明时构造的技巧