题目内容

已知椭圆，求过点的弦的中点的轨迹方程．


解析:

设点，，又设所求动点为，因为是弦中点，

由中点坐标公式得，．

又在椭圆上，，①      ．②

①－②得．

设的斜率为，

．

又在上，

的斜率为，

而，即．

即点的轨迹方程为．

练习册系列答案
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已知抛物线D的顶点是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线D的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A、B两点．（i）若直线l的斜率为1，求AB的长；（ii）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（2，1），它们在y轴上有一个公共焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线l过点P（0，3），交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于y轴的直线m被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出m的方程；若不存在，说明理由．
已知一直线l过点为P（2，1），且与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1相交于A、B两点．
（Ⅰ）若弦AB的中点为P，求直线l的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积的最大值及面积最大时直线l的方程（O为坐标原点）．
如图，已知椭圆：，过点F（4，0）作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N．
（1）线段MN是否恒过一个定点？如果经过定点，试求出它的坐标，如果不经过定点，试说明理由；
（2）求分别以AB，CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程．

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