Question

已知一直线l过点为P（2，1），且与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1相交于A、B两点．
（Ⅰ）若弦AB的中点为P，求直线l的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积的最大值及面积最大时直线l的方程（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）若斜率不存在，若弦AB的中点为P（2，1），与题意不符，不成立．
若斜率存在，设斜率为k则直线的方程为：y-1=k（x-2），即y=kx+1-2k，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得出；
（2）当直线l的斜率存在时，由方程①可求得，弦长|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，再利用点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离h，利用三角形的面积公式S△AOB=

1

2

|AB|•h和基本不等式即可得出．当直线l的斜率不存在时，直接求出．

解答：解：（1）若斜率不存在，若弦AB的中点为P（2，1），与题意不符，不成立．
若斜率存在，设斜率为k则直线的方程为：y-1=k（x-2），即y=kx+1-2k，
代入椭圆方程得：x²-2（kx+1）-2k²=8，
整理得：（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-8=0，①
设A(x1，y2)，B(x2，y2)，则x1+x2=

4k(2k-1)

2k2+1

=4，
解得：k=-1，
即l的方程为：x+y-3=0．
（2）由方程①可求得，弦长|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8(1+k2)(4k2+4k+3)

2k2+1

，
原点到直线l的距离为h=

|1-2k|

1+k2

，
∴S△AOB=

2

|1-2k| 4k2+4k+3

2k2+1

≤

2

(1-2k2)+4k2+4k+3

2(2k2+1)

=2

2

；
当且仅当k=-

1

4

时取等号，此时直线l的方程为x+4y-6=0．
当斜率不存在时，求得S_△AOB=2

2

．
所以三角形面积的最大值为2

2

，此时直线方程为x+4y-6=0或x=2．

点评：本题综合考查了“中点弦问题”、直线与椭圆相交与三角形面积最大值问题、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．