椭圆上的任意一点M与短轴两个端点B1.B2的连线交x轴于点N和K.则|ON|+|OK|的最小值是．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

椭圆

上的任意一点M（除短轴端点除外）与短轴两个端点B₁，B₂的连线交x轴于点N和K，则|ON|+|OK|的最小值是．

【答案】分析：求出椭圆上下顶点坐标，设M（x_o，y_o），N（x_m，0），K（x_n，0），利用三点共线求出K，N的横坐标，利用M在椭圆上，推出|ON|•|OK|=a²，最后利用基本不等式求出|ON|+|OK|的最小值即可．
解答：

解：由椭圆方程知B₁（0，b），B₂（0，-b），
另设M（x_o，y_o），K（x_k，0），N（x_n，0）（2分）
由M，N，B₁三点共线，知

=

（4分）
所以x_n=

（6分）
同理得x_k=

（9分）
|OK|•|ON|=|

|…①，
又M在椭圆上所以

即b²-y

=

代入①得 10分
|OK|•|ON|=|

|=a²（12分）
利用基本不等式，得|ON|+|OK|≥2

=2a，当且仅当|OK|•|ON|取号，
故|OK|•|ON|的最小值为2a．
故答案为：2a．
点评：本题是中档题，思路明确重点考查学生的计算能力，也可以由向量共线，或由直线方程截距式等求得点M坐标．

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=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，左顶点为A，若|F₁F₂|=2，椭圆的离心率为e=

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求

的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且

，求证：直线l恒过定点．

（2009•河东区二模）已知椭圆

=1(a＞b＞0)．
（1）设F是椭圆的一个焦点，M椭圆上的任意一点，|MF|的最大值与最小值的算术平均等于4，椭圆的顶点A与N（-2，0）关于直线x+y=0对称，求此椭圆方程；
（2）设点P是椭圆

=1上异于长轴端点的任意一点，F₁、F₂为两焦点，记∠F₁PF₂=θ，求证|PF1|•|PF2|=

（2011•重庆一模）给出以下4个命题：
①曲线x²-（y-1）²=1按

=（1，-2）平移可得曲线（x+1）²-（y-3）²=1；
②若|x-1|+|y-1|≤1，则使x-y取得最小值的最优解有无数多个；
③设A、B为两个定点，n为常数，|

|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
④若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是该椭圆上的任意一点，延长F₁P到点M，使|F₂P|=|PM|，则点M的轨迹是圆．
其中所有真命题的序号为

已知椭圆C：的离心率为，过椭圆C的右焦点F且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点．

(1)求直线PN的斜率k_ON；

(2)对于椭圆上的任意一点M，试证：总存在，使得等式＝cos·＋sin·成立．