题目内容
（2009•河东区二模）已知椭圆
+
=1(a＞b＞0)．
（1）设F是椭圆的一个焦点，M椭圆上的任意一点，|MF|的最大值与最小值的算术平均等于4，椭圆的顶点A与N（-2，0）关于直线x+y=0对称，求此椭圆方程；
（2）设点P是椭圆
+
=1上异于长轴端点的任意一点，F1、F2为两焦点，记∠F1PF2=θ，求证|PF1|•|PF2|=
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）设F是椭圆的一个焦点，M椭圆上的任意一点，|MF|的最大值与最小值的算术平均等于4，椭圆的顶点A与N（-2，0）关于直线x+y=0对称，求此椭圆方程；
（2）设点P是椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2b2 |
| 1+cosθ |
分析：（1）由题意可得|MF|max=a+c，|MF|min=a-c，及题意可得a．再利用轴对称即可得出点A，即可．
（2）利用椭圆的定义和余弦定理即可得出．
（2）利用椭圆的定义和余弦定理即可得出．
解答：解：（1）∵|MF|max=a+c，|MF|min=a-c，
∴
(a+c+a-c)=a=4，
又A与N（-2，0）关于y=-x对称，∴有A（0，2），∴b=2．
∴椭圆方程为
+
=1．
（2）∵|PF1|+|PF2|=2a，
在△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF1|cosθ
=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF1|-2|PF1||PF2|cosθ，
∴（2c）2=（2a）2-2（1+cosθ）|PF1||PF2|，
∴|PF1|•|PF2|=
=
．
∴
| 1 |
| 2 |
又A与N（-2，0）关于y=-x对称，∴有A（0，2），∴b=2．
∴椭圆方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
（2）∵|PF1|+|PF2|=2a，
在△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF1|cosθ
=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF1|-2|PF1||PF2|cosθ，
∴（2c）2=（2a）2-2（1+cosθ）|PF1||PF2|，
∴|PF1|•|PF2|=
| 2a2-2c2 |
| 1+cosθ |
| 2b2 |
| 1+cosθ |
点评：熟练掌握椭圆的定义与性质、余弦定理等是解题的关键．
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