Question

11．设函数f（x）=3ax²-2（a+b）x+b，x∈[0，1]，其中a＞0，b为任意常数．若函数f（x）的最大值是a-b，求$\frac{b}{a}$的取值范围．

Answer 1

分析 由二次函数的性质可得二次函数f（x）=3ax²-2（a+b）x+b的图象开口向上，且其对称轴为x=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{b}{a}$，从而可得|1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{b}{a}$）|≥|0-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{b}{a}$）|，从而解得．

解答 解：∵f（x）=3ax²-2（a+b）x+b，
∴f（1）=3a-2（a+b）+b=a-b，
又∵函数f（x）的最大值是a-b，
函数f（x）=3ax²-2（a+b）x+b在x=1处取得最大值，
又∵a＞0，
∴二次函数f（x）=3ax²-2（a+b）x+b的图象开口向上，
且其对称轴为x=$\frac{a+b}{3a}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{b}{a}$，
∴|1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{b}{a}$）|≥|0-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{b}{a}$）|，
即$\frac{b}{a}$≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想应用．