Question

函数y=

2x2-x+2

x2+x+1

的值域是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：利用分离常数法化简函数解析式，对x分类讨论，由基本不等式求出函数值的取值范围，最后再并在一起．

解答： 解：由题意得，y=

2x2-x+2

x2+x+1

=

2(x2+x+1)-3x

x2+x+1

=2-

3x

x2+x+1

，
当x=0时，y=2，
当x≠0时，y=2-

3

x+ 1 x +1

，
因为当x＞0时，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=

1

x

时取等号，
所以0＜

3

x+ 1 x +1

≤

3

2

，

1

2

≤2-

3

x+ 1 x +1

＜2，即y∈[

1

2

，2），
当x＜0时，-x-

1

x

≥2

(-x)•(- 1 x )

=2，当且仅当-x=-

1

x

时取等号，
所以x+

1

x

≤-2，则-3≤

3

x+ 1 x +1

＜0，2＜2-

3

x+ 1 x +1

≤5，即y∈（2，5]，
综上得，函数的值域是[

1

2

，5]，
故答案为：[

1

2

，5]．

点评：本题考查分离常数法化简函数解析式，基本不等式，以及分类讨论思想，属于中档题．