Question

【题目】设函数，

（1）若，且在（0，+∞）为增函数，求的取值范围；

（2）设，若存在，使得，求证：且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】分析：（1）由在（0,+∞）为增函数可得上恒成立，然后对的符号分类讨论可得结果．（2）结合题意先排除时不成立，从而得．由得，设，并结合（1）知，故得，从而，故转化为证成立，变形后通过令构造新函数，可证得，即证得不等式成立．

详解：（1）当时，.

由题意得对任意恒成立.

当时，不等式显然成立；

当时，可得恒成立，

所以，解得；

当时，可得恒成立，

所以，解得．

综上可得．

∴实数的取值范围是．

（2）若，则有 ，

∴在单增，与存在满足矛盾.

∴.

由，得,

∴．

不妨设，

由（1）知在单调递增，

∴，

即.

∴．

又，

∴．

下面证明，

令，则．

于是等价于证明，即证．

设，

则在恒成立．

∴在单调递减，

∴，

从而得证．

于是，即不等式成立．