Question

【题目】如图，梯形中，，平面平面，.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析.

（2）.

【解析】分析：（1）由平面⊥平面及得⊥平面，从而可证得面面垂直；

（2）设，由已知证得平面，因此以为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量及直线的方向向量，由向量的夹角与线面角的关系得结论.

详解：（1）证明：∵平面⊥平面，平面∩平面=，

平面，，

∴⊥平面.

又平面,∴平面⊥平面.

（2）设，∵四边形为等腰梯形，⊥，=2=，

∴ ，，

∵且，∴四边形为平行四边形，

∴，且，

又∵⊥平面，∴⊥平面.

以为原点，向量的方向分别为x轴，y轴， z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

设平面DFC的一个法向量为，

有，即，不妨设，得.

取，

于是.

设与平面所成角为，则．

∴与平面所成角的正弦值为．