Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求直线和圆的普通方程；

（2）已知直线上一点，若直线与圆交于不同两点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】分析：（1）用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，其中参数的绝对值表示直线上对应点到的距离，因此有，，直接由韦达定理可得，注意到直线与圆相交，因此判别式＞0，这样可得满足的不等关系，由此可求得的取值范围.

详解：（1）直线的参数方程为，

普通方程为，

将代入圆的极坐标方程中,

可得圆的普通方程为，

（2）解：直线的参数方程为代入圆的方程为 可得：

（*），

且由题意 ，,

.

因为方程（*）有两个不同的实根，所以，

即，

又，

所以.

因为，所以

所以.